托勒密定理

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

定理提出

一般几何教科书中的"托勒密定理"，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

定理表述:圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

定理定义

指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

验证推导

一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)

托勒密定理:圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:圆内接四边形ABCD，求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC.

证明:如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b−d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.

则△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD

托勒密定理证明

所以△ABC∽△AED.

BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

(仅在四边形ABCD是某圆的内接凸四边形时，等号成立，即"托勒密定理")

三、广义托勒密定理:设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有:

mn=√[(ac)^2+(bd)^2-2abcd*cos(A+C)]

当四边形ABCD是某圆的内接凸四边形时，易得∠A+∠C=180°，即cos (A+C)=-1，所以原等式右侧可变式为完全平方式，即一般式：mn=ac+bd；当四点共线，且按ABCD的顺序排列时（可理解为把四边形拉成一条线段），此时∠A=0°，∠C=180°，仍满足等式mn=ac+bd，即欧拉定理。

定理推广