内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1.定义

垂心： 三角形三条高的交点

重心： 三角形三条中线的交点

内心： 三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心

外心： 三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心

旁心： 三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点

注意： 正三角形中重心、 垂心、 外心、 内心重合， 这个点叫 中 心。

2.性质

垂心： 1、 锐角三角形垂心在三角形内部， 直角三角形垂心在三角形直角顶点， 钝角三角形垂心在三角形外部。

2、 垂心 H 关于三边的对称点， 均在△ABC 的外接圆 上。

3、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。

4、 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。（西姆松线）

重心： 1 、 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1 。

2、 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。

3、 重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

4、 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

5、 重心是三角形内 到三边距离之积最大的点。

6、 在平面直角坐标系中， 重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标： (X1+X2+X3)/3 纵坐标： (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标： （Z1+Z2+Z3） /3

内心： 

1、 到三边的距离相等， 都等于内 切圆半径 r。

2、 内心都在三角形的内部。

3 、 设 三 角 形 的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为

A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)， 其对边长分别为a,b,c ， 则 内 心 坐 标I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c))

外心：

 1、 到三角形三顶点的距离相等， 都等于外接圆半径 R。

2、 直角三角形外心在斜边的中点， 锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部。

旁心： 

1、 旁心到三边的距离相等。

2、 三角形有三个旁切圆， 三个旁心。 旁心一定在三角形外。

3、 直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半