若想预见数学的将来正确的方法是研究它的历史和现状。

————庞加莱

数学发展史大致可以分为四个基本上本质不同的阶段数学形成时期初等数学时期即常量数学时期变量数学时期和现代数学。数学形成时期是人类建立最基本的数学概念的时期人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念简单的计算法并认识了最简单的几何形式算术与几何还没有分开。初等数学时期的成果构成了现在中学数学的主要内容这个时期从公元前5世纪开始也许更早一些直到17世纪大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支算术、几何、代数、三角。变量数学产生于17世纪大体上经历了两个决定性的重大步骤第一步是解析几何的产生第二步是微积分的创立。现代数学时期大致从19世纪上半叶开始是以其所有的基础—代数、几何、分析—中的深刻变化为主要特征。

一、数学文明的发祥

数学文明的发祥可以追溯到4千年前甚至更久世界公认的四大文明古国中国、

埃及、巴比伦、印度其文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽。

埃及—几何的故乡

当时埃及已掌握了加、减、乘、除四种运算会算一些平面图形的面积及一些立体的体积。埃及的金字塔建于公元前三千年至公元前一千多年这些古建筑留下了许多数学之谜塔底每边长230米误差小于20厘米塔高146.5米东南与西北角误差仅1.27厘米直角误差仅有12″方位角误差在2′到5′之间这样的精确度现代建筑也望尘莫及。金字塔用石达230万块之多重量从2.5吨到50吨不等石块间接缝处连铅笔刀也难插入塔高的10亿倍恰好等于地球到太阳的距离底边与高度之比的2倍近似等于

3.14159而这是公元3世纪时的人才得到的圆周率的近似值。穿过塔的子午线恰好把地球上的陆地和海洋分为均匀的两半塔的重心正好位于各大陆引力的中心线上。古埃及人靠什么计算方法和计算工具达到如此的精确度呢科学研究表明他们已具有丰富的天文学和数学知识。

巴比伦—代数的源头

当时的哥伦比亚人已经学会开平方、开立方并有平方、平方根、立方和立方根表

知道二次方程的求根公式。

印度—阿拉伯数字的诞生地

印度数学的发展晚于埃及、巴比伦、希腊和中国印度人的特殊贡献有阿拉伯数字是印度人的发现他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字直到公元8世纪才传入阿拉伯国家后经阿拉伯人传入欧洲用符号“0”表示零是印度人的一大发明。

二、现代文明的发祥地—希腊

世界上曾经存在21种文明但只有希腊文化转变成了今天的工业文明究其原因乃是数学在希腊文明中提供了工业文明的要素。古希腊的世界并不限于今天称作“希腊”的那部分而是东部扩展到爱奥尼亚土耳其的西部西部扩展到意大利南部和西西里南部扩展到亚历山大埃及。希腊人从埃及和巴比伦人那里学习了代数和几何的原理但是埃及和巴比伦人的数学基本上是经验的总结是零散的希腊人将这些零散的知识组成一个有序的系统的整体他们努力使数学更加深刻、更加抽象、更加理性化。柏拉图说“无论我们希腊人接受什么东西我们都要将其改善并使之完美无缺。”到公元前3世纪在最伟大的古代几何学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯的时代达到了顶峰而终止于公元6世纪。当时最光辉的著作是欧几里得的《几何原本》尽管这部书是两千多年以前写成的但是它的一般内容和叙述的特征却与现在我们通用的几何教科书非常相近。随着希腊科学的终结在欧洲出现了科学萧条数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家。在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间数学主要由于计算的需要而得到发。印度人发明了现代记数法后来传到阿拉伯从发掘出来的材料来看中国是使用十进制最早的国家引进了负数。

到了16世纪欧洲文艺复兴时代欧洲人向阿拉伯学习并根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学从阿拉伯沿袭过来的印度记数法逐渐在欧洲确定下来欧洲科学终于越过了先人的成就。

三、变量数学时期

变量数学产生于17世纪其主要成就是建立了解析几何同时创立了微积分。

到16世纪封建制度开始消亡资本主义开始发展并兴盛起来在这一时期中家庭手工业、手工业作坊逐渐地转化为以使用机器为主的大工业。实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究因此对数学提出了新的要求。对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究在数学中产生了变量和函数的概念数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段即向变量数学时期的过渡。

数学中专门研究函数的领域叫做数学分析它的主要内容是微积分所以从17世纪开始的数学的新时期—变量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期。变量数学建立的第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作《几何学》这本书奠定了解析几何的基础从而变量进入了运动进入了数学。恩格斯指出“数学中的转折点是笛卡儿的变数有了变数运动进入了数学有了变数辩证法进入了数学。”变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的诞生具有划时代的意义是数学史上的分水岭和转折点对此恩格斯是这样评价的“在一切理论成就中未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩那正是在这里。”

四、现代数学

现代数学的发展特点是所有的基础都得到了更深层次的发展。

几何学的进一步发展欧氏几何到非欧几何现实空间到抽象空间在19世纪上半叶罗巴切夫斯基建立了非欧几何学1854年著名的德国数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最重要的步骤在这些研究的基础上产生了各种新的“空间”和它们的“几何”罗巴切夫斯基空间、射影空间、黎曼空间、拓扑空间等等并找到自己的应用。

直到19世纪上半叶以前几何的真正发展没有走上正路一直想在欧氏几何完全正确的地方进行修正这就是关于欧氏几何第五公设的研究。《几何原本》共有五条公设

1给定两点可连接一线段。

2线段可无限延长。

3给定一点为中心和通过另一点可以作一圆。

4所有直角彼此相等。

5同平面内一条直线和另外两条直线相交若在直线同侧的两个内角之和小于180°则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。等价于过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

长期以来数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来显得文字叙述冗长而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到而且以后再也没有使用。也就是说在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此一些数学家提出第五公设能不能不作为公设而作为定理能不能依靠前四个公设来证明第五公设这就是几何发展史上最著名的争论了长达两千多年的关于“平行公理”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对第五公设到底能不能证明。到了十九世纪二十年代俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中他走了另一条路子。欧氏几何的第五公设为过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。否定它得到新的公设

1过直线外一点至少可以作两条直线和已知直线平行

2过直线外一点不能作直线和已知直线平行

罗巴切夫斯基用“过直线外一点至少可以作两条直线和已知直线平行”来代替第五公设然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统展开一系列的推理。他认为如果以这个系统为基础的推理中出现矛盾就等于证明了第五公设。但是在他极为细致深入的推理过程中得出了一个又一个在直觉上匪夷所思但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后罗巴切夫斯基得出两个重要的结论第一第五公设不能被证明第二在新的公理体系中展开的一连串推理得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理并形成了新的理论这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何简称“罗氏几何”这是第一个被提出的非欧几何学。

由于两千年来人们坚信欧氏几何是唯一可靠的几何其他任何与之矛盾的几何是绝对不能接受的受这种传统偏见的约束要承认非欧几何是需要一定的勇气的。高斯是真正预见到非欧几何的第一人。不幸的是毕其一生高斯没有关于非欧几何发表什么意见。他的先进思想是他与好友的通信、对别人著作的评论以及他死后从稿纸中发现的几份札记。虽然他克制自己没有发表自己的发现但是他鼓励别人坚持这方面的研究。预见到非欧几何的第二人是匈牙人J.波尔约他的父亲与高斯长期交往甚厚并对平行公设感兴趣。J.波尔约受他父亲的影响热衷于这项研究大约在1825年建立起非欧几何的思想写了一篇26页的论文作为附录附于他父亲的一本书中。虽然人们承认高斯和J.波尔约是最先料想到非欧几何的人但俄罗斯数学家罗巴切夫斯基实际上是有系统发表此课题著作的第一人他赢得了“几何学上的哥白尼”的称号。

罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理。因此凡是不涉及到平行公理的几何命题在欧氏几何中如果是正确的在罗氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中凡涉及到平行公理的命题在罗氏几何中都不成立他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明在欧氏几何中同一直线的垂线和斜线相交存在相似的多边形过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆但在罗氏几何中却恰恰相反同一直线的垂线和斜线不一定相交不存在相似的多边形过不在同一直线上的三点不一定能做一个圆。

第二种非欧几何的发现者是德国数学空黎曼。黎曼用“过直线外一点不能作直线和已知直线平行。”来代替第五公设从而产生了黎曼的非欧几何。黎曼几何中的一条基本规定是在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在开创了几何学的一片新的广阔领域。

代数的质变群、环、域等代数结构的研究

在19世纪代数也出现质的变化以往的代数是关于数字的算术运算学说现在这种算术运算是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察。现代代数理论是19世纪从许多数学家的研究中形成的其中尤以法国数学家伽罗华著称。群论与线性代数是现代代数中内容丰富的两个分支。伽罗华对函数论、方程式论和数论作出重要贡献他的工作为群论一个他引进的名词奠定了基础所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程解SolutionbyRadicals的不可能性其实当时已为阿贝尔Abel所证明只不过伽罗华并不知道和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。

另一方面分析也发生了深刻的变化。首先它的基础得到了精确化并产生了一系列新的分支如实变函数、复变函数论、函数逼近论、微分方程定性理论、积分方程论、泛函分析等等。

进入20世纪以来数学的研究对象数学的应用范围大大扩展特别是计算机的出现产生了众多新而又新的数学分支。

结语

数学经过上千年的发展与演化得以发展到今天的繁荣一代代的数学家们前仆后继为数学事业倾注了一生的心血他们为世人呈现出了数学的美丽。历史的车轮终将还会向前数学终将还会继续发展。普尔森曾说过生命只为两件事发展数学与教授数学。这应该是每一个数学工作者的座右铭。

参考文献

1《数学史》高中数学史教材选修A版人民教育出版社

2《数学史》.J.F斯特科.1958年

3数学史大事年表

4中外数学史年表

5《文明之路数学史演讲录》.林涛.科学出版社

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